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发布时间:2017-08-31 17:53:17 | 来源:中公考研
2018考研联考初数绝对值问题,希望对大家有帮助,一起来看看吧。
篇一 : 绝对值函数的问题解决
绝对值函数的问题解决
张家港高级中学 储聪忠
有一道某地高三模拟考试题,涉及到绝对值函数,用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。[)
试题 已知函数f(x)?x2?1,g(x)?a|x?1|.
(1) 若关于x的方程|f(x)|?g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围
(2) 若当x?R时,不等式f(x)?g(x)恒函数成立,求实数a的取值范围
(3) 求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤). ..
解答
(1)方程|f(x)|?g(x),即|x2?1|?a|x?1|,变形得|x?1|(|x?1|?a)?0,显然,x?1已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x?1|?a,有且仅有一个等于1的解或无解 ,结合图形得a?
(2)不等式f(x)&geg(x)对x?R恒成立,即(x2?1)&gea|x?1|()对x?R恒成立, ①当x?1时,()显然成立,此时a?R
绝对值函数 绝对值函数的问题解决
x2?1x2?1?x?1,(x?1),②当x?1时,()可变形为a?,令?(x)? ??|x?1||x?1|??(x?1),(x?1).
因为当x?1时,?(x)?2,当x?1时,?(x)??2,
所以?(x)??2,故此时a&le?2.
综合①②,得所求实数a的取值范围是a&le
?2.
?x2?ax?a?1,(x&ge1),?(3)因为h(x)?|f(x)|?g(x)?|x2?1|?a|x?1|=??x2?ax?a?1,(?1&lex?1),
?x2?ax?a?1,(x??1).?
① 当a?1,即a?2时,结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减,在[1,2]上递增, 2
且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3,经比较,此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3. ② 当0&le&le1,即0&lea&le2时,结合图形可知h(x)在[?2,?1],[?,1]上递减, aa
22
aa2a?a?1, 在[?1,?],[1,2]上递增,且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3,h(?)?242
经比较,知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.
③ 当?1&le?0,即-2&lea?0时,结合图形可知h(x)在[?2,?1],[?,1]上递减, aa
22
aa2a?a?1, 在[?1,?],[1,2]上递增,且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3,h(?)?242
经比较,知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.
④ 当?&le3
2aaa ??1,即-3&lea??2时,结合图形可知h(x)在[?2,],[1,?]上递减,222
绝对值函数 绝对值函数的问题解决
在[,1],[?,2]上递增,且h(?2)?3a?3?0, h(2)?a?3&ge0, 经比较,知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3. 当a2a2a3??,即a??3时,结合图形可知h(x)在[?2,1]上递增,在[1,2]上递减, 22
故此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为h(1)?0.
综上所述,
当a&ge0时,h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3
当?3&lea?0时,h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3
当a??3时,h(x) 在[?2,2]上的最大值为
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