咨询电话:400-6300-966

招考
资讯

考试动态 大纲 招简 考研常识 指南 择校择专业 报录比 在职考研 >>

备考
资料

政治 英语 数学 联考 专业课 专硕 历年真题 考研资料 >>

考研
课程

全年集训营 乐学考研 推免 启学OL/OAO 魔鬼集训 >>

考研
学科

经济 会计 法学 医学 金融 心理 管理 艺术 教育 翻译 计算机

招生资讯

考试动态 考研大纲 招生简章 报录比 择校择专业 招生目录 考研常识 考研报考 考研指南 院校排名 准考证打印 考试书目 成绩查询 考研复试 调剂信息 保研推免 考研分数线 录取通知 考研时间 在职考研 考研调剂 大专考研 考研问答

备考资料

考研英语: 英语词汇 阅理解读 新题型    完型填空 大作文 语法 翻译 考研数学: 高等数学 线性代数 概率统计 模拟试题 考研政治:时政热点 马哲原理 近代史 思修法基 毛中特 真题 试题 考研联考:初等数学 逻辑推理 中文写作 经济类数学

考研课程

魔鬼集训营 全年集训营 在校生考研 经济类联考 在职考研 经济学考研 心理学考研 医学考研 应用心理硕士 教育硕士考研 解题训练营 考研推免生 乐学早起鸟 管理类联考 会计学考研 艺术考研 教育学考研 法硕考研 金融硕士考研 管理学考研

您所在的位置: 中公考研 > 联考综合 > 初等数学 > 正文

初等数学复习指导:排列组合与集合的关系

发布时间:2014-07-16 17:35:35 | 来源:中公考研  

  一、集合元素的个数以常见的全排列为例,用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,则每一个九位数都是集合A的一个元素,集合A中共有9!个元素。以下我们用S(A)表示集合A的元素个数。

二、集合的对应关系两个集合之间存在对应关系(以前学的函数的概念就是集合的对应关系)。如果集合A与集合B存在一一对应的关系,则S(A)=S(B)如果集合A中每个元素对应集合B中N个元素,则集合B的元素个数是A的N倍(严格的定义是把集合B分为若干个子集,各子集没有共同元素,且每个子集元素个数为N,这时子集成为集合B的元素,而A的元素与B的子集有一一对应的关系,则S(B)=S(A)*N

例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9!集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3!这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!这就是我们用以前的方法求出的P(9,6)

例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系,则 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6!这就是我们用以前的方法求出的C(9,6) 以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源,也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到,在我们平时数物品的数量时,说1,2,3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1,2,3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个。

我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。

例3:9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种? 9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合A中都对应不同元素,但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素,所以S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为8!。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素就会形成一一对应的关系。

例4:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排在2前面,求符合要求的九位数的个数。集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前面,集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C)=S(A)在集合B、C之间建立以下对应关系:集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字,对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S(B)=S(C)=9!/2 以同样的思路可解出下题:从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数,且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?

例5:M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1,N-1)

例6:7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法. 解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为X1,X2,X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0 先把其余4人看作一样,则不同排法为方程 X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1 化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应,个数为C(5,3)=10 由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!,所以不同排法共有C(5,3)*4!=240种。 集合的方法运用熟练后,不需要每次具体设定集合,但头脑中要有清晰的对应关系。

免责声明:本站所提供的内容均来源于网友提供或网络搜集,由本站编辑整理,仅供个人研究、交流学习使用,不涉及商业盈利目的。如涉及版权问题,请联系本站管理员予以更改或删除。

【责任编辑:xiaxi】

考研免费题库

考研指导图书

上一篇:初等数学提高解题速度两诀窍

下一篇:联考综合数学复习思路指导

中公考研课堂

  • 考研公共课
  • 考研专业课
课程系列 班次名称 价格 免费试听
考研政治网络课堂 2023年考研网校全程进阶班-政治 ¥980.00 免费试听
考研英语网络课堂 2023年考研网校全程进阶班-英语一 ¥980.00 免费试听
2023年考研网校全程进阶班-英语二 ¥980.00 免费试听
考研数学网络课堂 2023年考研网校联报进阶VIP班-政英二数 ¥2240.00 免费试听
2023年考研网校全程进阶班-数学 ¥980.00 免费试听
2023年考研网校联报进阶VIP班-政数 ¥1560.00 免费试听
考研管综网络课堂 2023年考研网校全程进阶班-管综 ¥1980.00 免费试听
联报精讲VIP班 23考研在职人起跑公共课直播VIP班-联报 ¥4880.00 免费试听
23考研在职人联报专属VIP班-政英二经综 ¥4140.00 免费试听
2023考研在职人联报专属VIP班-政英二数 ¥4140.00 免费试听
  2023考研全年集训营

考研是一场选拔性考试,没有捷径。2023考研来袭备考需尽早启动,从"择校"到"复试",中公考研带你科学备考>> GO>

  2023考研乐学辅导班

23考研大数据解密变难"成必然趋势?与其焦虑不如提早准备营造优势,23乐学让你满载而归。地毯式扫清学习漏洞,漏洞式补强薄弱环节GO>

面授课程

|

网校课程

考研题库

  • 英语真题
  • 政治真题
  • 数学真题
  • 专业课真题

英语一: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

英语二: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

政 治: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

单选题: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

多选题: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

分析题: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

数学一: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

数学二: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

数学三: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

心理学: 2021 2019 2018 2017 2016 2014

教育学: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

管理类: 2021 2020 2019 2018 2017 2016

经济类: 2020 2019 2018 2017 2016 2015

西 医: 2021 2020 2016 2013 2012 2011

报考信息

备考指导

 

 

中公考研名师指导: 择校择专业 跨专业报考 1V1专业解答