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2022考研数学三试卷线性代数考查要点变化解读

发布时间:2021-12-29 14:24:20 | 来源:中公考研  吕航

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一、试卷结构

与2021年一样,从卷面结构来说,2022年数学三线性代数也考查了5道题,具体分布和题号见表1-1所列。

表1-1 2021年与2022年线性代数试卷题目分布

  选择题 填空题 解答题
2021年 3(第5、6、7题) 1(第15题) 1(第21题)
2022年 3(第5、6、7题) 1(第15题) 1(第21题)

由上表可知,仅从试卷结构分布上来说,两年没有任何变化,按往年的惯例来看,未来的试卷结构也应该不会有太大的改变。

二、试题对比

1、客观题

两年的客观题考查知识点见表2-1所列。

表2-1 2021年与2022年线性代数客观题考查知识点分布

    年份
题号
5 6 7 15
2021年 惯性指数 线性方程组通解 矩阵的初等变换 行列式计算
2021年 相似对角化 线性方程组解的判定 向量组等价 初等矩阵

由上表可知,两年中数学三线代客观题的考查知识点主要还是集中在线代的两大核心理论:相似对角化+二次型,以及向量+线性方程组上。而近两年在这两大知识点上并没有出现重复考查,唯一重复考查点在于初等矩阵。

具体来说,21年第5题考查惯性指数,而22年考查相似对角化。二者均是第二大核心理论,但21年考查得惯性指数需要考生理解惯性指数的定义和其计算方法,即可通过配方法或求解二次型矩阵的特征值得到答案;而22年虽然考查点为相似对角化,但本题也需要考生理解相似对角化定义和其计算方法,同时掌握相似对角化的判定条件,进而理解对角矩阵和变换矩阵的对应关系。

21年第6题考查得是抽象型线性方程组的通解问题,需要考生理解基础解系的定义和计算方法,有一定难度。22年考查的知识点为带有参数的线性方程组解的判定,可通过克拉默法则得到参数的可能数值,结合系数矩阵和增广矩阵秩的关系,得出不同参数取值下线性方程组解的情况。

21年第7题为初等矩阵和矩阵等价的考查,需要考生理解可逆矩阵与初等矩阵的关系,二者异曲同工,均可以认为是在单位矩阵的基础上进行初等变换得到,也均适用“左行右列”准则,经过运算可得到答案,当然也可以利用选项进行乘法计算。22年第7题考查向量组等价,需要考生理解向量组等价的充要条件是:

2022考研数学三试题 考研数学三难度解析

在此基础上进行求解参数可能取值,对比二者关系即可得到答案。

21年第15题考查行列式的计算,算是相对考查频率较低的考查点,此题可以通过展开定理或对行列式定义的理解得出结果。22年15题考查矩阵的初等变换和初等矩阵的逆矩阵,需要考生理解初等矩阵的核心定理及其推论,即所有初等矩阵均可逆,其逆矩阵为同种类型的初等矩阵,通过相应的逆变换可以得出矩阵A。同时,考生还需掌握逆矩阵和迹的计算方法,进而得到结果。

2、解答题

21年与22年解答题考查知识点见表2-2所列。

表2-2  2021年与2022年线性代数解答题考查知识点分布
      年份
题号
21
(1) (2)
2021年 已知特征值求参数 正交变换法化合同标准型
2021年 求解相似对角化的可逆变换矩阵 对正交变换的理解

两年中两道解答题的知识点均集中在线代的第二大核心理论:相似对角化+二次型上。21年21题的第1小问考生可以通过计算矩阵的特征值,得到参数的可能取值,根据不同参数得到对应特征值和特征向量,进而得到第2小问的答案。22年21题第1小问考查二次型的正交变换法,也即是考查实对称矩阵的正交相似对角化。需要考生掌握正交矩阵的求解方法,具体包括:1)先求二次型的矩阵;2)求解矩阵的特征值;3)求解特征值对应的线性无关的特征向量;4)对于同一个特征值的特征向量进行正交化;5)全部特征向量单位化。第2小问考查为证明题,虽考法比较新颖,但是其实证明方法不难,由于第1小问已经计算出二次型可以通过x=Qy变为合同标准型即

符号,故所证题目进行适当放缩,结果即为矩阵的最小特征值2,命题得证。

纵观两年数学三的线代考题,内容上虽然没有太多重合,但是基本考查方向大体上还是比较一致的,需要考生掌握的知识点也相对比较集中,重点还是落在两大核心理论,故未来考生的复习方向也应集中在此,以上为中公考研数学团队带来的2022年考研数学三线代考查要点变化解读,希望对数学三考生有所帮助。

以上是中公考研小编整理的"2022考研数学三试卷线性代数考查要点变化解读"内容,2021考研初试成绩查询时间及查询事项广大考生可关注中公考研网,及时获取考研成绩查询信息,帮助大家做好考研初试后准备,从容迎战后续考研复试/调剂工作~

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